Análise de Fourier

     A análise de Fourier surgiu a partir das tentativas deste matemático francês para encontrar a solução de um problema prático, a condução do calor em um anel de ferro. Demonstrou que podemos obter uma função descontinua a partir da soma de funções continuas. Esta tese foi defendida por Fourier diante da Academia Francesa, o que motivou severas objeções dos matemáticos mais importantes de sua época como Lagrange, Laplace, etc.

     A primeira vista, parece que o problema de analisar formas de ondas complexas representa uma tarefa formidável. No entanto, se a forma da onda é periódica, podemos representar com uma precisão arbitrária, mediante a superposição de um número suficientemente grande de ondas senoidais que formam uma série harmônica.

      Fourier foi o primeiro a estudar sistematicamente tais séries infinitas, após investigações preliminares de Euler, D'Alembert, e Daniel Bernoulli. Ele aplicou estas séries à solução da equação do calor, publicando os seus resultados iniciais em 1807 e 1811, e publicando a sua Théorie analytique de la chaleur em 1822. De um ponto de vista moderno, os resultados de Fourier são algo informais, em boa parte devido à falta de uma notação concisa de funções e integrais nos inícios do século XIX. Mais tarde, Dirichlet e Riemann expressaram os resultados de Fourier com grande precisão e rigor formal.

      Muitas outras transformadas de Fourier foram definidas desde então, estendendo a outras aplicações a ideia inicial de representar qualquer função periódica pela sobreposição de harmónicas. A área genérica destes estudos é hoje por vezes definida como a análise harmónica.

      Séries de Fourier são formas de representar funções como soma de exponenciais ou senóides.
As séries de Fourier podem ser calculadas pela forma trigonométrica ou pela forma complexa.
Forma Complexa:



Forma Complexa:

onde:

Forma Trigonométrica:
Sendo:

Então:

onde:

Para funções ímpares a_n = 0 a₀ = 0 e para funções pares b_n = 0.